В основе математической модели ректификационной колонны лежит математическая модель теоретической тарелки, которая, в свою очередь, основана на материальном балансе, из которого выводятся уравнения модели. Уравнения (они дифференциальные) описывают закономерность изменения концентрации каждого компонента  i (dxi) за время  dt на каждой тарелке и в кубе. Схема материальных потоков изображена на рис.

На тарелку k с тарелки k-1 поступает пар состава yi,k-1  и флегма с тарелки k+1 составом xi,k+1, i=1,N (N – количество компонентов)

Расход с тарелки – пар на тарелку k+1 и флегма на тарелку k-1. Изменение концентрации компонента на тарелке k равно разнице прихода и расхода компонента на эту тарелку за время dt .

Вывод формулы для тарелки ректифицирующей части колонны:

1. Пусть в произвольный момент времени t на тарелке k находится Lxi,k  компонента i , где L –  количество жидкости на тарелке 
2. За время dt на тарелку поступает компонента i          Vyi,k-1dt + Rxi,k+1dt , где V R потоки пара и флегмы соответственно, а yi,k-1 xi,k+1 концентрации компонента i в паре на нижележащей тарелке и в жидкости на вышележащей. 
3. За время dt на тарелке k концентрация компонента i составит L(xi,k +dxi,k)
4. За время dt с тарелки расходуется компонента i с флегмой и паром  V(yi,k +dyi,k)yi,k dt + R(xi,k +dxi,k)dt  

Вещество не возникает ниоткуда и не исчезает в никуда, материальный баланс  – это всего лишь математическое выражение закона, установленного ещё Ломоносовым. В результате мы имеем формулу       

  Lxi,k + Vyi,k-1dt + Rxi,k+1dt = L(xi,k +dxi,k)+   

+ V(yi,k +dyi,k)yi,k dt + R(xi,k +dxi,k)dt

Из которой следует:

Модель ректификационной колонны включает ещё уравнения верхней тарелки (на которую поступает флегма, состав которой равен составу уходящего с неё пара), уравнения  испарителя и (при необходимости) уравнения сборника. Они составляются аналогично, на основе материального баланса.

Но нам неизвестны концентрации компонентов в паре.

Их расчёт основан на следующих постулатах:

1. Парциальное давление компонента считается по закону Рауля;
2. Жидкость на тарелке находится при температуре кипения;
3. Сумма концентраций компонентов в паре равна единице.

Последний пункт очевиден, но он является основой расчёта.

Концентрация (равновесная) компонента в паре: y*i,k = Pi,k /Pk

Где Pi,k  — парциальное давление компонента i на тарелке k

и Pk — общее давление на тарелке k, принимаем равное атмосферному.

По Закону Рауля Pi,k = P⁰i,k * xi,k , P⁰i,k считаем по уравнению Антуана, в котором есть неизвестная пока ещё температура на тарелке.

Её находим из условия 3(искомой температурой является такая, для которой при заданных концентрациях компонентов в жидкости сумма концентраций компонентов в паре равна единице). Теперь правые части уравнений модели определены полностью и эту систему уравнений можно интегрировать по времени от Тнач до Ткон, результат рсчёта – конечные концентрации компонентов в колонне (жидкость и пар), в кубе и в сборнике. Для расчёта динамики процесса выбирают Ткон достаточно малым, выводят промежуточные данные и продолжают расчёт до следующего Ткон, обычно кратного первому, т.е.  2*Ткон, 3*Ткон и т.д.

Математическая модель ректификационной колонны достаточно проста, расчёт концентраций компонентов в паре то же несложен, написание программы интегрирования уравнений модели – задача более трудоёмкая, но решаемая. Принципиальную проблему представляют следующие теоретические ограничения этой модели, которые предполагают:  

1. Идеальность смеси (точное соответствие смеси закону Рауля);
2. Отсутствие учёта теплового баланса тарелки и тепловых потерь;
3. Бесконечную скорость массообмена (что не так — она всегда конечна);
4. КПД тарелки 100%.

Последние два ограничения можно устранить, добавив соответствующую поправку в программу расчёта концентраций компонентов в паре (скорость массообмена явным образом влияет на КПД тарелки).

КПД тарелки (в долях единицы)

xi, k  —  заданные   концентрации компонента i в жидкости на тарелке k (интегрирующая программа обращается к уравнениям модели с точно определёнными значениями концентраций)

y*i,k – рассчитанные (равновесные)  концентрации компонента i в паре  на тарелке k

yi,k – рабочие (текущие) концентрации компонента i в паре на тарелке k

Тепловому балансу колонны, математическому учёту этого баланса и практическому измерению тепловых потерь мы планируем посвятить несколько статей, но это большой объём работы, эти статьи ещё только пишутся.

К сожалению,  ограничение 1 в общем случае устранить невозможно. Но для некоторых частных случаев (единственный азеотроп двух основных компонентов смеси) возможно представление такого азеотропа в расчётах  как индивидуального вещества. Подробно эта тема рассмотрена в статье «Обход теоретического ограничения».

Получить результаты расчёта ректификации многокомпонентной смеси можно на странице «Расчёт», там подробно описаны все входные данные, необходимые программе расчёта.